Matrizes não negativas e decomposições matriciais

Mestrado em MatemáticaEste trabalho apresenta o estudo de algumas propriedades de matrizes não negativas, nomeadamente propriedades espectrais e estruturais dessa classe de matrizes, e alguns dos resultados mais ~mportantesp ara esse estudo como o Teorema de Gerggorin e o Teorema de Perron-Frobenius. São ainda estudadas algumas decomposiq6es matriciais bem como a sua importância no desenvolvimento de eficientes métodos iterativos. Nesse estudo destacam-se alguns conceitos como a monotonia de matrizes, 2-matrizes e M-matrizes. Por fim, e com o intuito de estimar o erro de discretização de equaçães diferenciais ordinárias, sCio apresentadas duas aplicaçbes recorrendo ao estudo da monotonia de matrizes e aos limites para normas de inversas de matrizes monótonas.This work presents the study of some properties of nonnegative matrices, spectral and structural properties of this class of matrices, and some of the most important results for this study as the GerSgorin Theorem and the Perron- -Frobenius Theorem. There is also the study of some matricial splittings as well as their importante in the development of efficient iterative methods. In this study some concepts are distinguished such as the matrix monotonicity, Z-matrices and M-matrices. Finally, and with the purpose of estimating the discretization error of ordinary differencial equations, two applications are presented appealing to the çtudy of the matrix monotonicity and limits for norms of inverse of monotone matrices

Invariantes espetrais da matriz de Randic de um grafo

Este trabalho apresenta um estudo sobre invariantes espetrais da matriz de Randić de um grafo. O índice de Randić é um invariante espetral apresentado em 1975 por Milan Randić e com importantes aplicações ao nível da Química. Em 2010 define-se a matriz de Randić, uma matriz não negativa construída a partir desse índice. O estudo do espetro de matrizes associadas a grafos é um dos grandes objetivos da investigação em teoria dos grafos e são já diversas as aplicações em diferentes áreas científicas. Neste trabalho é estudado o espetro da matriz de Randić associada a um grafo e definido o spread de Randić. Para além disso, são apresentados majorantes e minorantes para esse invariante espetral. Em Química, a energia de grafos caterpillar, que estão associados a sistemas aromáticos, está relacionada com as relações de ressonância desses sistemas. Tendo esse facto como motivação, é estudado o espetro e o espetro de Randić de grafos caterpillar e são apresentados majorantes para a energia e para a energia de Randić dessa classe de grafos.This work presents a study related to spectral invariants for the Randić matrix of a graph. The Randić index is a spectral invariant presented in 1975 by Milan Randić and with important applications in chemistry. In 2010 the Randić matrix was defined as a nonnegative matrix built from this index. The study of the spectrum of matrices associated with graphs is one of the major goals of research in graph theory and there are already several applications in different scientific areas. In this work the spectrum of the Randić matrix associated to a graph is studied and the Randić spread is defined. In addition, upper and lower bounds are presented for this spectral invariant. In chemistry, the energy of caterpillar graphs, that are associated with aromatic systems, is related with the resonance of these systems. Having this as motivation, the spectrum and the Randić spectrum of caterpillar graphs are studied and upper bounds are presented for the energy and for the Randić energy of this class of graphs.Programa Doutoral em Matemátic

Mathematical pedagogical content knowledge in early childhood education: A study in initial teacher education in Portugal

The study aims to explore the specificity of mathematics Pedagogical Content Knowledge in Early Childhood Education Pedagogy. The pedagogy of ECE (Siraj-Blatchford, 2010) and the didactics of ECE (Pramling & Pramling-Samuelsson, 2011) suggest dimensions of knowledge that require strong content and PC knowledge of teachers. Recent studies about PCK of ECE teachers highlight similar specific dimensions: organization of educational environment and interactions with children (Lee, 2010, McCray, 2008, Rojas, 2008). The current framework for ECE Teacher Education in Portugal (since 2007) focuses both content knowledge and subject didactics. PCK has been labelled the 'great unknown' in ECE (Rojas, 2008) in traditions where the child's development is considered as the main knowledge base for ECE (Chen & McNamee, 2006, Cullen, 2005, Hedges & Cullen, 2005). We studied the perspectives of 27 initial teacher education students about knowledge for teaching and about ECE Pedagogy. We used one open-ended questionnaire and students' analysis of episodes focusing children's answers or discourse relevant for mathematics (about high numbers and square root). The questionnaire was anonymous and students’ permission to use the answers was obtained. In the questionnaire, interactions with children (62%) and organization of the educational environment (38%) are highlighted as the most important focus for the teacher. Students suggested tasks that were adult planned and oriented to further the situations presented in the episodes. Very few references to children's exploratory actions (Bonawitz et al., 2011) were made. The specificity of ECE (child initiated activities, e.g.) needs to be further developed in initial teacher education

Números racionais não negativos - tarefas para o 5.º ano

Este livro contém um conjunto de tarefas matemáticas, e a sua exploração, para apoio ao novo programa de Matemática do ensino básico.Direcção Geral de Inovação e Desenvolvimento Curricular - Ministério da Educaçã

Criatividade na atividade matemática

Falar de criatividade exige criatividade. Fazer com criatividade exige, ainda, mais criatividade. A Matemática é vista por muitos, ainda, como uma ciência pouco aberta e que serve o mundo com a resposta a inúmeros problemas. Num mundo onde abundam ideias, problemas e soluções, distinguem-se aqueles que são diferentes porque são mais eficientes, porque são inovadores ou, simplesmente, porque são únicos. Conjugar a natureza de uma ciência como a Matemática com métodos e processos mais abertos e mais criativos é algo que começou, muito recentemente, a tomar forma. Mas, o que significa ser criativo no trabalho em Matemática? Neste artigo procuramos reunir ideias da literatura que respondem a esta questão, apresentamos, também, as perspetivas de profissionais que diariamente trabalham com a Matemática, a nível da investigação, do ensino ou da divulgação e, por fim, referimo-nos a manifestações da Matemática em áreas distintas. Acima de tudo, queremos deixar a porta aberta para se continuar a pensar com criatividade sobre aquilo que pode ser a criatividade na atividade matemática.info:eu-repo/semantics/publishedVersio

Avaliação em Matemática: Problemas e desafios

Este livro contém um conjunto de artigos sobre a temática da avaliação em Matemática, identificando problemas e desafios

Da literatura para a matemática e da matemática para a literatura: percursos para aprendizagens com significado

No âmbito do mestrado de formação de professores dos 1.º e 2.ºciclos do ensino básico (CEB), estamos a desenvolver uma investigação que visa estudar contributos da literatura para a infância, ao nível da aprendizagem da matemática. Ambas as áreas valorizam a relação entre linguagens, ao aliar a componente linguística pela narrativa e a componente visual pela ilustração, a partir da qual também se identificam pistas para a concretização de ideias matemáticas, que simultaneamente dialogam com a dimensão semiótica do texto. Neste póster, descrevemos o processo de seleção de obras no âmbito da Literatura para a Infância a partir das quais construímos uma categorização em função do destinatário privilegiado, alunos do 1.ºCEB, e em função de conteúdos descritos nos referenciais da ação docente: Programa Metas Curriculares de Português (2015) e Programa Metas Curriculares de Matemática (2013); Aprendizagens Essenciais (2018). A partir de uma das obras selecionadas, propomos dar a conhecer tarefas para o 1.º CEB, desenhadas a partir da exploração de linguagens diferenciadas: a literária e a matemática, potenciando a visão holística e flexível de conteúdos de diferentes áreas de conhecimento, ao invés de uma visão espartilhada por fronteiras muito definidas. A Literatura para a infância não serve apenas o propósito de introduzir ideias matemáticas, mas potencia a reflexão sobre o uso da linguagem, nomeadamente pelas sequências narrativas; pela plurissignificação que da leitura emerge, explicitando diferentes camadas de significado das palavras, bem como pela flexibilidade do léxico utilizado; e pelas inferências que se constroem a partir dos contextos, no qual coabitam palavras e elementos pictóricos. O trabalho nesta investigação visa, também, identificar atitudes positivas perante a matemática porque são propostos contextos próximos da realidade dos alunos que permitem desenvolver aprendizagens com significado ao nível da matemática, ao potenciarem a concretização de ideias abstratas que tradicionalmente corporizam essa área. Trata-se de uma proposta que se alinhava com recurso à interpretação semântica e pragmática do que se lê e do que se vê em cada obra selecionada, com especial incidência para a vertente matemática. Assim, propomos, neste poster analisar as potencialidades de uma obra literária, na compreensão e aplicação de ideias matemáticas, ao nível de conteúdos (texto ou ilustrações).info:eu-repo/semantics/publishedVersio

Atas do XXVIII Seminário de Investigação em Educação Matemática

Em 2017, realiza-se em Viseu, pela terceira vez, o Seminário de Investigação em Educação Matemática (SIEM), dinamizado pelo Grupo de Trabalho de Investigação (GTI) da Associação de Professores de Matemática (APM). Estes seminários aconteceram em 1992 e em 2002. Em 1992 realizou-se na Escola Superior de Educação de Viseu o III SIEM. Foi neste seminário que surgiu, de forma mais visível, o Grupo de Trabalho de Investigação, com a aprovação dos seus objetivos e linhas orientadoras. A ideia de constituir, no seio da Associação de Professores de Matemática, um grupo de trabalho dedicado à Investigação em Educação Matemática vinha de trás, do Encontro de Professores de Matemática (ProfMat) de 1989, em Viana do Castelo, por iniciativa de João Pedro da Ponte. Em 1992, Viseu sucedia, assim, ao SIEM das Caldas da Rainha, em 1990, e ao SIEM do Porto, no ano seguinte. A revista Quadrante, publicada pelo GTI, tem tantos anos quantos decorreram desde esse primeiro SIEM em Viseu, 25 anos. Pode dizer-se que a Quadrante nasceu em Viseu, na medida em que no seu número inaugural, que saiu nesse ano de 1992, publicou textos baseados em comunicações realizadas no III SIEM.info:eu-repo/semantics/publishedVersio

Histórias... com Matemática II

Este livro é constituído por nove histórias infantis sobre a matemática

Humor gráfico no ensino da Matemática: Uma proposta para a sala de aula

Este póster desenvolve-se em torno de três vértices: o humor gráfico, a Matemática e a criatividade. Neste âmbito, apresentamos o livro “Humor no ensino da Matemática: tarefas para a sala de aula” desenvolvido no quadro do projeto “HUMAT: Humor in Mathematics Teaching”. Para além de apresentarmos algumas das tarefas do livro, apresentamos também o processo criativo que levou ao seu design. Em particular, abordamos o processo de seleção das tiras e cartoons, o desenho das tarefas matemáticas e as considerações de natureza didática disponibilizadas aos professores. A construção deste livro baseia-se em alguns pressupostos sobre o modo como a aprendizagem da Matemática se processa. Em primeiro lugar, acreditamos que a aprendizagem decorre do envolvimento em atividades matemáticas desafiantes e significativas. Em segundo lugar, assumimos que essa atividade matemática só resultará em aprendizagem se for refletida pelo próprio, em colaboração com outros, através da discussão. Para que esta visão da aprendizagem ocorra, é necessário que o professor proporcione aos alunos tarefas matemáticas ricas, que os levem a desenvolver as suas competências matemáticas. É neste enquadramento que surge este livro, que tira partido do humor gráfico envolvendo ideias matemáticas. Isso é feito de forma criativa e subversiva, marca do humor, convidando os alunos a pensar matematicamente para rir.FCT/IPVinfo:eu-repo/semantics/publishedVersio